Mathématiques appliquées

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Cours / Mathématiques appliquées / BAC PRO Electrotechnique, énergie, équipements communicants (ELEEC)

De nombreux dispositifs industriels n'utilisent que les chiffres 0 et 1 pour représenter les grandeurs physiques.

Généralement, dans de tels dispositifs, le chiffre 1 peut signifier :

• un niveau de haute pression,
• de haute tension,
• ou encore un contact fermé.

Quant au chiffre 0, il sert à désigner:

• une basse pression,
• une basse tension,
• ou un contact ouvert.

C'est pourquoi, pour pouvoir communiquer avec ces dispositifs, il faut utiliser un système de numérotation composé uniquement des chiffres 0 et 1.

Cette étude vous permettra :

1. de comprendrele système de numérotation binaire (0 et 1),
2. de maîtriser la conversion des nombres à partir du système conventionnel (système décimal) et vice-versa,
3. et d'étudiez l'addition et la soustraction dans ce système de numérotation.

Le système de numérotation binaire est constitué de deux chiffres, 0 et 1, d'où l'origine du mot binaire. Ainsi, une colonne d'un nombre binaire ne contient que les chiffres 0 ou 1.

Par définition, tout chiffre d'un nombre binaire est appelé bit, qui est une abréviation des mots anglais binary digit.

Le nombre binaire est par conséquent appelé mot de bits.

Pour les distinguer des nombres décimaux, chaque mot de bits est placé entre parenthèses avec le chiffre 2 comme indice.

Par ailleurs, il faut lire la séquence des 1 et 0 à partir de la gauche vers la droite.

• Par exemple, le mot binaire 10001 s'écrit : (10001)₂
• sa prononciation est : "un, zéro, zéro, zéro, un" et non pas "dix mille et un" comme si c'était en base 10.

Les nombres fractionnaires seront, eux aussi, notés selon le même principe que dans la base 10. Dans le système binaire, une virgule dite binaire sera introduite pour séparer la partie entière de la partie fractionnelle d'un mot de bits.

Dans un nombre binaire, le poids de chaque bit est déterminé par son rang ou son numéro.

Par définition :

• le premier bit à gauche de la virgule binaire aura le rang 0, celui à sa gauche le rang 1, et ainsi de suite.
• Le premier bit à droite de la virgule porte le rang - 1, celui à sa droite - 2, etc.

La figure suivante présente un nombre binaire fractionnaire dont la partie entière comprend 7 bits alors que sa partie fractionnelle est composée de 5 bits. Les rangs sont indiqués sous chaque bit.

Remarquez que dans la partie entière les rangs vont de 0 à 6 alors que pour la partie fractionnelle, ils vont de -1 à -5.

Représentation d'un nombre binaire :

Le poids de chaque bit est égal à 2 avec comme exposant leur rang. Une fois que les rangs ont été inscrits, les poids s'expriment selon la puissance du rang.

L'équivalent décimal d'un nombre binaire est déterminé de la manière suivante :

- Chaque bit est multiplié par son poids relatif.

- Tous les produits partiels (résultats de la multiplication de chaque bit par son poids) sont ensuite additionnés un à un.

- La somme totale représente l'équivalent décimal du nombre binaire.

Les deux exemples suivants vous permettront de maîtriser cette méthode.

Premier exemple : conversion d'un nombre binaire entier.

La figure suivante vous montre les étapes de conversion du nombre binaire (1011101)₂ en nombre décimal. Vous voyez que le poids de chaque bit a été déterminé à partir de son rang. Ainsi, le poids du bit 0 est 2⁰ = 1.

Vous répétez la même procédure jusqu'au bit 6 dont le poids est 2⁶ = 64. Une fois que tous les poids ont été déterminés, chaque bit est alors multiplié par son poids relatif. Tous les produits sont ensuite additionnés pour former l'équivalent décimal du nombre binaire (1011101)₂.

Conversion d'un nombre binaire entier en nombre décimal :

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